こんにちは。
Vistaは今手元にないのでためせませんが、「接続先」はこれで開けますか？
   

Process.Start("control", "NETCONNECTIONS")

Windows APIを使っても.NETを使っても統一的な方法であらゆるフォルダを開いたり、操作することはできません。だれかそういうものを作ってくれればいいのですが、開くところまではまだしも操作となるとどうしてもケースバイケースになってしまいます。

>私の中でAPIは複数の処理を束ねた一つのプログラムといったイメージで、
>しかもWEBのAPIもあるそうで、今回のネットワーク設定関連の場合、どちらのAPIを使うべきか、
>など迷っているところです。
使うとすればWEBではなく普通のAPI、つまりWindowsAPIの方になります。
ただ、イメージとしては全く逆でAPIを束ねて１つのプログラムにするのです。
WindowsAPIはマウスだとクリックひとつで済む操作でもやたらといろいろ呼び出さなければならないことも多くかなり面倒です。
ランチャーであればVBがおすすめです。
ちなみにAPIとは単なるプログラムなどで使う「命令」程度の意味ですのでいろいろなシーンで使う言葉です。
今回話題に出ているAPIはWindowsAPIですね。

>それにAPIを使うにしても、やはりパスの指定方法のようなものと向き合うことになるのではないか。
はい。そうです。

>つまりウィンドウを大きなものから小さなものまで開ける。
>そしてウィンドウの中の項目を自由に選択する。
>これがパス指定の問題なくできるならAPIを学ぼうと思っています。
普通の発想では無理です。
でも、少し視点を変えて、マウスやキーボードを自動的に処理する(たとえばWindows+Eを勝手に押したことにする)などのように作れば少し汎用的になりそうです。
(…がこの道の方が険しいかもしれません)

個人的にはexlorer.exeやcontrol.exe、rundll.exeなどの情報を収集して
VBから制御する方針でいいと思います。
ただ、統一的な処理は無理で、制御したい対象を追加するたびにいろいろ調べたりしなければいけなくはなりますが、それが今回の話だと一般的な方法なのかなと思います。

>基礎もしっかりしていないのに発展的なことをやるのは愚かかもしれませんが、
>目的に合わせて必要な部分を学ぶというやり方で、どうにかネットワーク設定をしてやれるランチャーの
>ようなプログラムを完成させたいのです。
題材も面白いし、私はとてもいいと思います。