まず、エラーになる原因ですが、TextChangedはテキストボックスの値が変わった瞬間に
発生します。
たとえば、テキストボックスにBBBと入っている場合にAAAと変更しようした場合、Aを入力した
瞬間にイベントが発生します。
ListBox1.Items(ListBox1.SelectedIndex) = TextBox1.Textを実行すると、SelectedIndexChangedが２回流れるようです。
（選択行解除、元の行の再選択）
このときの選択行解除のSelectedIndexChangedでItemsの配列外を指してしまうためにエラーになっています。（うまく説明できないので、ステップ実行でSelectedIndexの内容を確認してみてください）

もう１つ問題があります。
ListBox1.Items(ListBox1.SelectedIndex) = TextBox1.Textだと、リストの選択されている行の値を変えてしまいます。
選択行を変えるならば、ListBox1.Text = TextBox1.Textでいいと思います。
（リストに存在しない場合は、選択行は変わりません）

以上を踏まえたサンプルです。

    Private Sub TextBox1_TextChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles TextBox1.TextChanged

        ListBox1.Text = TextBox1.Text

    End Sub



    Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

        ListBox1.Items.Add("aaa")

        ListBox1.Items.Add("bbb")

        ListBox1.Items.Add("ccc")

        ListBox1.Items.Add("ddd")

        ListBox1.Items.Add("eee")

        ListBox1.SelectedIndex = 0



    End Sub



    Private Sub ListBox1_SelectedIndexChanged(ByVal sender As Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles ListBox1.SelectedIndexChanged

        TextBox1.Text = ListBox1.Text

        TextBox1.Focus()

    End Sub