>データベースででてくるDisposeという文についての質問です。
たくさんあるし、自作のクラスの話でも通じるので、この質問では
答えは１つになりません。一般論はありますが、設計者がどう作ったか
はマニュアル(ヘルプ)に書いてありますので読んで従ってください。

>なぜ、これを使うのでしょうか？
使わなくてもいい設計もあります。
これも使う必要があればマニュアルに載せておくべき内容
ですが、抜けてることは多々あるので、実際にデータベース側で
コネクションを確認するなどして問題が無いことを確認します。
データベース系で使われるのは Open ～ Close で、Dispose は
必須では無い場合が多いです。
明示的に使ってるなら、自分が所有しているリソースを解放
でしょう。必須では無いので、設計方針に従ってください。
[Dispose メソッドの実装]
http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/fs2xkftw(VS.80).aspx

> また、Disposeをした後にSQLを入れてデータベースを動かす。
> なんて事はできるのでしょうか？
一般にはできません。できてはいけません。
Microsoft が提供している既存のクラスの話なら、実際に
コーディングして実行してどうなるか確認してみてください。