こんにちは。

MySQLは使ったことがありませんが一般論で書きます。

質問１．
>うまくいかないのです。
もうちょっとくわしく教えてください。
なにがうまくいかないのですか？接続ボタンがクリックできない。データベースエクスプローラが表示されないなど具体的に何ができないかわからないと回答も具体的にできないです。
特に何かエラーメッセージが表示されている場合にはそのメッセージを教えてください。

質問２．
ゴドーさんの環境を確認したいのですが、
１．VB2010がインストールされているパソコンはゴドーさんの自宅(や学校などファイアーウォールの内側にある)環境。
２．MySQLがインストールされている場所はFC2が管理するインターネットを経由したどこか遠くにある環境。

という認識でよいでしょうか？
→この構成の場合VB2010とMySQLの通信がファイアーウォールに阻まれて失敗します。

質問３．
データベースエクスプローラー以外の方法ではそのMySQLに接続することは出来ていますか？
>サーバー内にphpMyadminというものを使用してデータベースを作成できる
とあるので、少なくともphpMyadminは接続できているようですが、このほかに何かのツールやゴドーさん作成のプログラムなどから接続できていますか？
できているとすればそれはどのような方法でしょうか？
→ファイアーウォールの内側からアクセスできている方法があるか知りたいです。