こんにちは。

>My.Forms.mapForm.mapBox.Invalidate()
>は、こちらもUpdate,Refresh共に試しましたが無理なようでした。
そうでしたか、自分の環境だと問題なく再描画されるのですが・・・

'マップフォーム表示 

    Private Sub ToolStripMenuItemMap_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles ToolStripMenuItemMap.Click

        '表示させるフォームのインスタンスを作成 

        Dim mapForm As New mapForm()

        '表示させるフォームを所有する 

        Me.AddOwnedForm(My.Forms.mapForm)

        My.Forms.mapForm.Show()

    End Sub

↑はmusicFormがそのままmapFormに変わっただけですよね？
「Dim mapForm As New mapForm()」の行を丸ごと削除してみてください。
問題なくmapFormを表示できるはずです。

他にもform1側で「Dim mapForm As New mapForm()」を使って
mapFormのインスタンスを作成していたりしませんか？
もし、あるならその行を削除するか、

mapForm.mapBox.Invalidate()

と、いうコードを

My.Forms.mapForm.mapBox.Invalidate()

に置き換えてみてください。
これでどうでしょう・・・？

>Newをすると不都合、というご意見も有ったのですが、Newせずに定義する方法が有るのでしょうか？
自分はうまく説明する自信がありません＾＾；
と、いうかMy.Forms～でFormを表示する方法も実は初めて知ったので・・・
そこに関しては他の方のフォローに期待します。。。