＞鍵さん
＞るきおさん
＞るしぇさん
＞桜さん

ありがとうございました。
解決しました。

別フォームでの値を変更する知識に根本的な誤りが有ったようです。
以下の方法で解決を行いました。

・マップフォーム側

    'mapFormオブジェクトを保持するためのフィールド 

    Private Shared _mapFormInstance As mapForm



    'mapFormオブジェクトを取得、設定するためのプロパティ 

    Public Shared Property mapFormInstance() As mapForm

        Get

            Return _mapFormInstance

        End Get

        Set(ByVal Value As mapForm)

            _mapFormInstance = Value

        End Set

    End Property

・本体側

    'マップフォーム表示 

    Private Sub ToolStripMenuItemMap_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles ToolStripMenuItemMap.Click

        '表示させるフォームのインスタンスを作成 

        Dim mapForm As New mapForm()

        '表示させるフォームを所有する 

        Me.AddOwnedForm(mapForm)

        '表示させるフォームの情報を設定 

        mapForm.mapFormInstance = mapForm

        mapForm.Show()

    End Sub

※マップフォームは当初のソースのように、インスタンスを作成し、逆にMy.Formsは使用しないようにしました。

    'マップを再描画する 

    Sub mapRedraw()

        Dim i As Integer

        myImages = New List(Of Bitmap)

        points = New List(Of Point)

        For i = 0 To 19

            If Not Me.tokenListC.Items(i) Is "-" Then

                Dim args() As String = Me.tokenListC.Items(i).Split(CChar(vbTab))

                'マップフォームに値を渡す 

                Dim XX As Integer = args(2) - 16

                Dim YY As Integer = args(3) - 16

                myImages.Add(New Bitmap(args(1)))

                points.Add(New Point(XX, YY))

            End If

        Next



        '現在セットされている座標にそれぞれの画像を描画 

        Dim g As Graphics = mapForm.mapBox.CreateGraphics()



        For i = 0 To myImages.Count - 1

            myImages(i).MakeTransparent(Color.White)

            g.DrawImage(myImages(i), points(i))

        Next

        mapForm.mapFormInstance.mapBox.Invalidate()

    End Sub

別フォームの情報にアクセスするには、ただ、作成したフォーム名だけを指定すれば良いと勘違いしていたのが全ての原因だったようです。
知識不足にてお手間を取らせて申し訳ありませんでした。

ご提示頂いた情報のお陰で、理解が深まったように感じます。

長い時間お付き合い頂いて、ありがとうございました。