WEB検索をしてみましたが、解決策は無いようなのでこんなことをして見ました。
ダブルクリックで、[MouseDown]処理を２回通るため、最初のイベントで処理をしています。
[MouseUp]当たりでクリップボードにコピーされるようです。

Private clipData As String 

イベント[Label_MouseDown] 
    'クリップボードの処理
    If Clipboard.ContainsText() Then
        If clipData = String.Empty Then
            clipData = Clipboard.GetText()
        End If
    End If
END イベント

イベント[Label_DoubleClick]
    'クリップボードの処理
    Clipboard.SetText(clipData)
    clipData = String.Empty
END イベント

苦肉の策ですが、一応ダブルクリック寸前のデータを取得することが出来ました。
以上、参考になればと思い投稿してみました。

雑談：カレンダーを[Program Manager]に貼り付けているのですが、[Windows7]では駄目ですね。