> ひょっとして、私は「商」という言葉の使い方を間違っているんでしょうか？？
いえ、合ってると思います。
「商」は割り算の答えのことで、「余り」ではありません。
「余り」を漢字で表現するなら「剰余」です。

・倍数・約数と余り
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/suugakukiso/archive/suukiso_03.pdf