ご回答ありがとうございます。

>HTTPのリクエストはまったく同じ(になっているはず)なのに、HTTPレスポンスが異なるということですね？

その通りです。

>リクエストしているパソコンやOSなどの環境もまったく同じなのですよね？

同じです。
IEもソフトも同一の環境から実行しました。

>ところで、自作プログラムからアクセスした場合のレスポンスでhtmlが帰ってきているようですが、
>そのhtml内にこのことのヒントになるようなエラーメッセージのようなものが載っていることはありませんか？ 

エラーメッセージ等は載っていないようでした。

>とすると、サーバー側で稼働しているアプリケーションがステートレスな構造になっていなくて、
>その直前のリクエストや、もっと前のリクエストによって処理を切り分けている可能性があります。

ステートレスという考え方は知りませんでしたが、その可能性もある思い、IEで直前にダウンロードしているファイルを、
ソフトでもダウンロードするようにしてみましがダメでした。
ですが、直前ではなくもっと前の遷移も見られている可能性もあるとのことですので試してみたいと思います。
ありがとうございました。
また後日結果書き込みます。