Webアプリケーションの基本的な考え方にマッチしていません。

簡単に言うと、ボタンなどは画面に張り付けて張り付けて使うものです。
そうするとあとは.NETがうまいようにいろいろ設定・調整してくれてプログラマはあまり仕組みを考えなくても使えるようになります。
今回むね6さんは、画面に張り付けて使っていないので、上述の「うまいようにいろいろ設定・調整」を自分でする必要があります。

作成されたButtonExクラスはクライアント側にスクリプトを出力して、
そのスクリプトがダイアログを表示する機能があるようになっています。
しかし、むね6さんのプログラムでは処理がクライアントに帰る前に完結しているので、
スクリプトは出力もされなければ、実行もされません。

いろいろ仕組みはあるんですが、とりあえず、ボタンであれば画面に貼り付けて使いましょう。
ボタンとは関係なくダイアログを出すのが目的なのであれば、
ClientScript.RegisterStartupScriptメソッドを使ってスクリプトを実行させましょう。