>WebBrowserコントロールでできないか試してみましたが、ダイアログを出さないといけませんでした。 
その試してみた方法を書いてください。

掲示板などインターネット上でのコミュニケーションはお互いに持っている情報を提供しあうものと考えてください。daikiさんの持っている情報が参考になって助かる人がきっといるはずです。
「こう書くとうまくいかない」という情報だったしても価値があります。

さて、今回ご質問の件は次のようにするとどうでしょうか？目的は達成できますか？
  

Private IsSaveFile As Boolean



Private Sub Button1_Click(sender As System.Object, e As System.EventArgs) Handles Button1.Click



    IsSaveFile = True

    WebBrowser1.Navigate("http://www.nifty.com/")



End Sub

   

Private Sub WebBrowser1_DocumentCompleted(sender As System.Object, e As System.Windows.Forms.WebBrowserDocumentCompletedEventArgs) Handles WebBrowser1.DocumentCompleted

    If IsSaveFile = False Then

        Return

    End If



    IsSaveFile = False



    Dim fileName As String = "C:\vb\web.txt"

    Dim contents As String = WebBrowser1.Document.Body.InnerText

    Dim encoding As System.Text.Encoding = System.Text.Encoding.GetEncoding(WebBrowser1.Document.Encoding)



    IO.File.WriteAllText(fileName, contents, encoding)



End Sub