るきおさん、ありがとうございます。
思っていたことができました！

試してみた方法ですが、WebBrowserのメンバの中に保存関連のものがないかと、"save"で調べたところ"ShowSaveAsDialog"メソッドというのが見つかりました。でも、説明を読むと「ダイアログボックスを表示します」と書いてあったので諦めました。
タグを検索して削除する、という方法も考えたのですが、凝ったページ（スタイルシートなどが使われている）だとうまくいきませんでした。

これからは、掲示板に投稿するときに試した方法もちゃんと書くように気をつけます。