URL 決め打ちで表示するだけならば、下記の一行で済みます。

PictureBox1.LoadAsync("http://www.google.co.jp/favicon.ico")

> ですがYouTubeやGoogleのfaviconが取得できません(泣)
質問の際には、状況をもう少し正確に伝えていただけると助かります。

『先のコードを…に直したところ、～のサイトでは取得できましたが、 ～という URLは依然 404 エラーです。』
『…というコードに直して取得させてみましたが、予想していた物とは違う画像が取得されます。』
『…という処理を行っている行で、〇〇〇というエラーが発生してしまいます。』


また、取得できたサイトと取得できないサイトの違いについては調査済みでしょうか?

favicon があるサイトに対して処理しているのに、取得できる場合と取得できない場合が
あるのなら、それぞれの URL および取得のためのコード全文を再掲してみてください。

> の用に直しましたら出来ました。
～の用に　→　～のように／～の様に　、かな。