Linesプロパティから，行ごとの分解された文字列の配列が取得できます。
ここのサイトの，
Visual Basic 中学校 > クラスライブラリ詳解 > System > Windows > Forms > TextBox
http://homepage1.nifty.com/rucio/main/dotnet/ClassLibrary/L006_System.Windows.Forms.TextBox.htm
４．テキストの操作 > ４－３．複数行の制御
が参考になると思います。

MSDN: TextBoxBase.Lines プロパティ (System.Windows.Forms)
http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/system.windows.forms.textboxbase.lines(VS.80).aspx


1行目だけ飛ばすのは，以降ならばSkip拡張メソッドで一発なのですが，
だとList(Of String)に配列を突っ込んで，最初の要素を削除するか，
そもそもループの開始の値を1にすることで0番目の要素を読み飛ばすとか，
そういった方法になると思います。