初めまして、コードで気になった事があります。

 Private Sub culculatebtn_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles culculatebtn.Click
         On Error Resume Next
         Dim A As Integer
         Dim B As Integer
         Dim C As Integer
         Dim D As Integer
         A = CInt(Qtr1Atxtbox.Text)
         B = CInt(Qtr2Atxtbox.Text)
         C = CInt(Qtr3Atxtbox.Text)
         D = CInt(Qtr4Atxtbox.Text)

         FinalScoreA.Text = CStr(A + B + C + D)
     End Sub
 End Class

上記のように数字は文字に文字は数字に変換してあげましょうね。(文字変換ToString()でもよし)

それと...テキストボックスに入力と同時に計算ですがテキストボックスのイベントでKeyDownイベント

というのがあります。

入力されたものが数字かどうかをまず判定しますね。

そして数字でなければイベントを脱出します。

数字だけを採用して計算しましょう。

あとChangedイベントもあるので参考にしてください。

プログラミングはしっかり悩んで調べて自力で頑張ってみてください。

乗り越えた時は最高に楽しいですよ。