> >ただし，UIへのアクセスができないので，その部分を考えて処理する必要があります。
> そのアクセスというのはどういうものなのでしょうか。

基本的に，UIに対して「データの取得」「データの設定」といった行為は，全部できないと考えてください。
例えば，
> For Each checked As String In List1.CheckedItems
は，List1.CheckedItems.GetEnumerator()という「UIデータの取得行為」を行っているので，例外が発生します。
もちろん，MessageBoxもだめですし，ラベルへのTextの設定もだめです。

取得に関しては先に取得しておき，設定や表示に関してはReportProgressイベントやRunWorkerCompletedイベントで行います。

    Private Sub button1_Click (sender As Object, e As EventArgs) Handles button.Click

       ' ボタンのハンドラ = UIスレッド 

       button1.Enabled = False

       lbl.Text = "状況 : ダウンロードを開始します..."

       If MsgBox( "ダウンロードを開始しますか。", MsgBoxStyle.YesNo Or MsgBoxStyle.Question, "ダウンロードを開始しようとしています。") <> MsgBoxResult.Yes Then

           lbl.Text = "状況 : ダウンロードを中止しました。"

           button1.Enabled = True

           Return

       End If



       My.Computer.Audio.PlaySystemSound(System.Media.SystemSounds.Question)

       backgroundWorker1.RunWorkerAsync(List1.CheckedItems.Cast(Of String)().ToArray()) ' LINQ使ってCheckedItemsをString()に変換して渡す 

    End Sub



    Private Sub backgroundWorker1_DoWork (sender As Object, e As DoWorkEventArgs) Handles backgroundWorker1.DoWork

       ' DoWorkイベント = バックグラウンドスレッド 

        Dim checkedItems As String() = DirectCast(e.Argument, String())

        Dim numCount As Integer = 0 '連番ファイルカウント  



        Using (wc As New WebClient())

            For Each checked As String In checkedItems

                Dim savePath As String = My.Application.Info.DirectoryPath '保存先  

                Dim saveFileName = Path.Combine(savePath, "Image" & numCount & Path.GetExtension(checked))



                ' 同期ダウンロード 

                wc.DownloadFile(checked, saveFileName)

                numCount += 1

            Next

        End Using

    End sub



    Private Sub backgroundWorker1_RunWorkerCompleted (sender As Object, e As RunWorkerCompletedEventArgs) Handles BackgroundWorker.RunWorkerCompleted

       ' 終了ハンドラ = UIスレッド 

        If e.Error IsNot Nothing Then

             lbl.Text = e.Error.Message

             txtLog.Text &= vbCrLf & "・エラーが発生しました。" & vbCrLf & "エラーメッセージ：" & e.Error.Message & "スタックトレース：" & e.Error.StackTrace

             TabControl.SelectTab(1)

             txtLog.Select(0, 0)

        Else

             lbl.Text = "状況 : ダウンロードが完了しました。"

        End If

       button1.Enabled = True

    End Sub

個人的には，
Blog: マルチスレッド Windows フォームアプリケーションの開発 - とあるコンサルタントのつぶやき - Site Home - MSDN Blogs
http://blogs.msdn.com/b/nakama/archive/2009/03/30/windows.aspx
の，一連の記事を読むとよいと思っています (コードはC#で書かれていますが)。
最低でも，
Blog: Part 4. Visual Studio によるマルチスレッドアプリの開発 - とあるコンサルタントのつぶやき - Site Home - MSDN Blogs
http://blogs.msdn.com/b/nakama/archive/2009/04/09/part-4-visual-studio.aspx
にはBackgroundWorkerについて色々書いてあるので読むべきです。
# 日本マイクロソフトの赤間さんの記事です。