>dim xxx as new ***
>のnewはどういうときに必要なのでしょうか。
***のインスタンスを作成してxxxに代入するときに必要です。
①別の行でNewを書くのであれば1行にまとめる必要はありませんし、
②自分でNewするのではなく、別の場所で既にインスタンス化されているものを代入するのであれば、
この場合も自分でNewは書きません。

①の例

Dim f As Form

f = New Form

MsgBox(f.BackColor.ToString)

②の例

Dim f As Form

f = Me

MsgBox(f.BackColor.ToString)

>dim xxx as new string
>とはなぜ書かないのでしょうか？ 
一部の型は、特別なインスタンスの記述方法があるためNewを使わないことがあります。
上記の②と同じです。
String型の場合 " でくくることでインスタンスを表現でき、自分でNewする必要はありません。
例(②と見比べてください。)

Dim s As String

s = "ABCD"

MsgBox(s)