.NET Frameworkだけで行うには，Timer使って監視するしかありません。

ただし，APIには監視するためのAPIとMessageがあります。
探すと，@ITに記事がありました。

Site: クリップボードの内容をリアルタイムに取得するには？［C#、VB］ － ＠IT
http://www.atmarkit.co.jp/fdotnet/dotnettips/848cbviewer/cbviewer.html

references)
MSDN: SetClipboardViewer function
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms649052.aspx

MSDN: WM_DRAWCLIPBOARD message
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms649025.aspx

MSDN: WM_CHANGECBCHAIN message
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms649019.aspx

MSDN: ChangeClipboardChain function
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms649034.aspx

MSDN: Using the Clipboard # Adding a Window to the Clipboard Viewer Chain
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ms649016.aspx#_win32_Adding_a_Window_to_the_Clipboard_Viewer_Chain