バージョンが書いていないのでVisual Basic 2010 Express Editionを使っていると仮定してお答えします。

初期状態ではスタートアップフォームが表示されなくなるとプログラム全体が終了してしまいます。
これを変更して、どれか１つでもフォームが表示されていればプログラムは終了しないようにするには、
[プロジェクト]メニューの[xxxxのプロパティ]で「アプリケーションページ」を選択し、「シャットダウンモード」を「最後のフォームが閉じるとき」にします。
そのうえで、Form1はForm2、Form3を表示してから自分自身を閉じる(か非表示にする)ようにすれば単単さんの期待する動作になると思います。
順番を逆にして、Form1を閉じてからForm2, Form3を表示しようとするとプログラムが終わってしまうので注意してください。

別の方法として、同じ設定画面で「アプリケーションフレームワークを有効にする」をオフにして、「スタートアップオブジェクト」を「Sub Main」にするとFormではない部分からプログラムを開始することもでき、これでも解決できますが、単単さんがVBの勉強をはじめたばかりということですのでこの説明は割愛します。