ニュートン法は、X軸を貫かない極点の付近に初期値を取ると、結果が収束しない場合があります。
少なくとも、f(x)>0となる任意の座標とf(x)<0となる任意の座標を容易に得られるならば、
微分を考えなくてもいい2分法という方法があります。

http://www.math.kobe-u.ac.jp/~taka/asir-book-html/main/node35.html

計算時間は、圧倒的にニュートン法に軍配が上がりますが、人間の感覚からすれば
2分法の計算時間もあっという間です。