いわゆる「コピーコンストラクタ」のようなものでしょうか?

> 要は、継承クラスBのMyBaseの内容を基底クラスAのものに置き換えたいのです。
各メンバーのコピーを、自分で個別に行っていく必要があります。
そのため、基底クラスの Private メンバーをコピー先の継承クラスに引き継がせることはできません。
(一応、リフレクションを利用して無理矢理コピーすることはできますが)
http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/ms173116%28vs.80%29.aspx

ゆえに、このような機能を実装するとしても、ICloneable インターフェイス等を
利用した方が良いでしょう。複雑な構造の場合は、永続化したデータを
受け渡すことで対処する手法もあります。
http://smdn.jp/programming/netfx/cloning/