こんな感じでしょうか

        Dim url As Uri = New Uri(TextBox1.Text)
        If url.HostNameType = UriHostNameType.Dns Then
            Dim iconURL = "http://" & url.Host & "/favicon.ico"
            Try
                Dim request As System.Net.WebRequest = System.Net.HttpWebRequest.Create(iconURL)
                Dim response As System.Net.HttpWebResponse = request.GetResponse()
                Dim stream As System.IO.Stream = response.GetResponseStream
                Dim favicon = Image.FromStream(stream)
                PictureBox1.Image = favicon
            Catch ex As WebException
                PictureBox1.Image = SystemIcons.Asterisk.ToBitmap   '--- 適当なイメージを設定
            End Try
        End If