「動かしたい」とは具体的に何をしたいのでしょうか？
たとえば、文字を表示したいということであれば、
http://www.tristate.ne.jp/ftp/manu027-2.pdf
の、3ページ目にある「LCD制御プロトコル」で操作できるみたいですね。

ただ、私がPICNICのことを良く知らないせいだと思いますが、
上記プロトコルがどのレイヤーで動くものかよくわかりません。
HTTP層？TCP層？

Web画面から呼び出している画像があったのでHTTPかなと思いましたが、
「パケット」などマニュアルの言葉使いがHTTPっぽくないですし、
HTTPに「PutString」など独自の命令を追加して拡張しているということになるでしょうか？
上記マニュアル見ただけでわかる方いますか？

http://www.tristate.ne.jp/new-pic-nic/new-pic-nic34.gif
http://www.tristate.ne.jp/new-pic-nic/new-pic-nic34.jpg
上の画面をIEなどのWebブラウザで開いて、「ソース」を見るともっとよくわかりそうです。

そもそも、文字を表示したいのかどうかもよくわからないですが。