> WebBrowserを使わない方法で、同じことを行う方法はないでしょうか？
NTidy は如何でしょうか。
http://www.atmarkit.co.jp/fdotnet/dotnettips/863html2text/html2text.html


> これは何か回避策はありますか？ 
手っ取り早い解決策としては、BackgroundWorker は使わず、
メインスレッドで DocumentComplete を捕えることでしょうか。
そのうえで、テキストの取得処理を DocumentComplete イベントに移動させれば OK かと。


InternetExplorer を使うにしろ WebBrowser を使うにしろ、HTML を解釈するための
アンマネージの HTMLDocument オブジェクト自体が、メッセージループを必要としたはず…。