今回の件ポイントは２つあります。 

１つは、呼び出し元のフォーム(Form1とします。)を閉じてしまうことです。
既定の設定だとForm2を開いた後でもForm1を閉じるとアプリケーションが終了してしまいます。
そこで、m190さんはフォームを閉じる代わりにMe.Hideを使用しており、zz6989さんはVisible = Falseでかわしています。
しかし、これだと今後はForm2を閉じた場合にすべてフォームが表示されていないのにアプリケーションが終わらないことになってしまいます。

２つめはForm1とForm2は互いに疎遠であるべきということです。
Form1を変更した場合にForm2にプログラムも連動して修正したり、逆にForm2を変更したときにForm1を連動して修正したりする必要がある事態はできるだけ避けたいものです。
私は互いに疎遠であることを「疎結合」と呼んでいます。 

以上、２点を踏まえたコード例を紹介します。

前提としてプロジェクトのプロパティ画面でシャットダウンモードを「最後のフォームが閉じるとき」に変更してください。
これによってForm1を閉じてもForm2が開いている限りアプリケーションは終了しなくなります。
 
※この画像は他から流用しているので赤い四角で囲ってある部分は関係ありません。 

Form1側

Public Class Form1



    Private Sub Form1_Load(sender As System.Object, e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load



        ListBox1.Items.AddRange({"Apple", "Banana", "Cat", "Dog"})



    End Sub



    Private Sub ListBox1_DoubleClick(sender As Object, e As System.EventArgs) Handles ListBox1.DoubleClick



        If ListBox1.SelectedItem Is Nothing Then

            '何も選択されていなければ何もしない。 

            Return

        End If



        Dim f As New Form2

        f.Show(ListBox1.SelectedItem)

        Me.Close()

    End Sub



    Private Sub ListBox1_KeyPress(sender As Object, e As System.Windows.Forms.KeyPressEventArgs) Handles ListBox1.KeyPress



        If e.KeyChar = Chr(Keys.Enter) Then

            ListBox1_DoubleClick(sender, e)

        End If



    End Sub



End Class

Form2側

Public Class Form2



    Public Overloads Sub Show(value As String)

        Me.TextBox1.Text = value

        Me.Show()

    End Sub



End Class