追記と訂正です。

>プロジェクトのプロパティ画面      初期状態のままですが
シャットダウンモードが「スタートアップフォームが閉じるとき」のことです。
るきお先生が書いてくださったコードの動作が目的の動作であれば、また的外れのサンプルかもしれません、的外れだったらごめんなさい。

Form2側

 

 Public Class Form2

    Private Sub Form2_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

        ListBox1.Items.AddRange({"Apple", "Banana", "Cat", "Dog"})



    End Sub

    Private Sub ListBox1_DoubleClick(ByVal sender As Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles ListBox1.DoubleClick



        If ListBox1.SelectedItem Is Nothing Then

            '何も選択されていなければ何もしない。   

            Return

        End If



        '追加した部分です  

        Dim f As New Form1

        f = Me.Owner

        f.Show(ListBox1.SelectedItem)  '変更した部分です。 

        Me.Close()

    End Sub

    Private Sub ListBox1_KeyPress(ByVal sender As Object, ByVal e As System.Windows.Forms.KeyPressEventArgs) Handles ListBox1.KeyPress



        If e.KeyChar = Chr(Keys.Enter) Then

            ListBox1_DoubleClick(sender, e)



        End If



        Me.Close()



    End Sub



End Class

せっかくOverloadを使用していますので、後でListBoxの値をInteger型などに変更した場合、るきお先生のコードのように f.Show(ListBox1.SelectedItem) としておくと、有利だと思います。
 Public Overloads Sub Show(ByVal value As Integer)みたいに同じShowでも、型が違うメソッドを複数利用できますしね。