えーっと，Dropboxにログインするのではなく，クライアントソフトウェアの使用権限チェックみたいなことをしたいのですよね。
# システムを提供するサーバーへのログインであれば，サーバーが認証と認可の為の機構を提供すべきなので。

Dropboxにパスワードを置くのではなく，なんらかのプログラムを動かせるサーバーを用意して，
サーバーにパスワード (とユーザー名等の付帯情報) を渡し，サーバー側で判断させるのがよいと思います。
Web環境ではないため，ECDH (楕円曲線DH) 使った鍵交換でソルトを渡してハッシュした結果をサーバーに渡すなどの方法で，
平文パスワードをネットワークに流さないための手段を講じられます。
man-in-the-middle対策でSSLも用意したいところです。
# 固定のソルトでハッシュした後，追加情報として鍵交換したデータでハッシュする。サーバー側は固定のソルトによるハッシュデータがあればよい。

固定のソルトであれば，Dropbox上のパスワードファイルもハッシュしておくことで平文パスワードをネットワークに流さない，は対応できます。