> 動的webなので、
自作した ASP.NET サイトを実行テストしたいだけなら、Visual Studio を使えば
ローカル PC 上で実行できますが、そうでは無く、ローカル PC 以外の場所
（それもインターネット上のサーバー）に配置して、それを Internet Explorer あるいは
スマートフォン等で閲覧してみたい、ということでしょうか。


> 普通の自分のＨＰではできないのではと思いまして、
ASP.NET が動作するかは、契約しているレンタルサーバー次第です。
ただし今回はプロバイダ提供のサーバーのようですから、非対応の可能性が高いでしょう。

ASP.NET で作成された Web アプリケーションを動作させるためには IIS が必要です。(※1)
そのため、お使いの Web サイトが、Windows Server であることが大前提となります。(※2)
Solaris や Linux を採用しているサーバー(Apache系)では ASP.NET が動作しません。(※3)


ちなみに IIS というのは、Windows 系の Webサーバーソフトウェアの名前であり、
IIS 8.0 は、Windows Server 2012 (Essentials、Standard、Datacenter) ならびに
Windows 8 (Enterprise、Pro)で用いられるバージョンを指しています。

最新は、IIS 8.5 (Windows Server 2012 R2 で用いられるバージョン)です。


契約中のプロバイダーで提供されている Webサーバーが、ASP.NET に対応して
いるかどうかは、プロバイダーの公式サイトをご覧いただくか、直接お問い合わせ
頂いた方が良いでしょう。

非対応の場合で、どうしても動かしたい場合は、対応しているホスティング会社を
利用することになりますね。(数は少ないですが、無償提供されているものもあります)


ただし ASP.NET にもバージョンがあるため、たとえ ASP.NET 対応だとしても、
特定バージョンの ASP.NET しか使えないホストだったり、あるいは
対応バージョンの切り替え作業が発生する場合などもありますので、
こちらもやはり、事前に調査しておく必要があるでしょう。

まぁ、バージョン制限を気にするべきであるという点については、
ASP.NET 以外の動的サイト(PHP、Ruby、Perl 等)であっても同じことですが、
いずれにせよ、お使いのサーバー次第ということになります。


--- 以下補足 ---
(※1) 詳細は省きますが、厳密には ASP.NET の動作に Web が必須と
　いうわけではないですし、IIS 無しで動かす方法も一応存在します。
　(だからこそ、WebDev.WebServer.EXE のような物も作れるわけで)

(※2) Windows Client でも動作可能ですが、性能やライセンス上の
　問題点などから、一般公開するインターネットサーバーには向きません。
　(SOHOのイントラや、スタンドアロンで使う程度なら、Client OS でも問題なし)

(※3) 非 Windows サーバーな環境であっても、Mono XSP を導入してある
　サーバーであれば、ASP.NET を実行させることは一応可能です。
　ただし .NET Framework ではなく Mono での動作となりますし、
　そうした設定が施されたサーバーはそうそう無いと思います。