>・下に記載したコードを使ってログイン成功時のＩＤとユーザー名を抽出。
IDは抽出するまでもなく、TextBox1.Text.Trimですね。
ユーザー名の方はテーブル「ユーザー情報」から取得できると思うので、仮に列名が「ユーザー名」であるとすれば、
SQL文で
SELECT COUNT(ユーザーID) FROM ...
を
SELECT ユーザー名 FROM ...
にして、
変数RESULTを文字列型にして受け取るようにすれば良いと思います。

>その後、使用したい時にＩＤ、ユーザー名を自由に使える様にしたい。
プログラム全体でID、ユーザー名を使用できるようにするためにはいくつかの方法があります。
一例を紹介します。

まず、IDとユーザー名を保存するためのクラスを定義します。次のようにします。

Public Class UserInfo

    Public Shared Property Id As String

    Public Shared Property UserName As String

End Class

IDとユーザー名が確定した段階で上記プロパティに保存します。
CheckUserの中で次のように書くと良いでしょう。

If RESULT IsNot Nothing Then

    UserInfo.id = id

    UserInfo.UserName = RESULT

End If

使用したい箇所で UserInfo.Id または UserInfo.UserName で目的の値が取得できます。

>・ユーザー名は、ログイン成功後に移動するフォームのタイトルLabelにユーザー名を記載させたい。
上記の例のようにIDとユーザー名を保存している場合FormのShownイベントなどで目的のラベルにセットすれば良いと思います。
例：

Label1.Text = UserInfo.UserName

>・ＩＤは、新規でデータを登録する際にSQLserverに誰か登録させたか分かる様に登録させたい。(利用者が操作してＩＤを反映させる訳では無く、裏作業で登録させたい。）
データを登録するSQLの値に UserInfo.Id を使用すればできます。

それぞれもっと具体的に質問していただければ、より詳細な回答ができるかもしれません。

なお、社会人さんのSQLにはSQLインジェクションの脆弱性があります。

 Dim SQL As String = "SELECT COUNT(ユーザーID) FROM ユーザー情報" _

                             & " WHERE ユーザーID='" & id & "' AND パスワード='" & pass & "'"

たとえば、TextBox1にユーザーが次の値を入力しても大丈夫でしょうか？

' AND 1 = 1 -- 

これを入力されると誰でもログオンできてしまいませんか？