>インターネットを使用の際には特に認証の操作を行っていることはないとのことです。
その人の環境で、IEなどのWebブラウザーを使って
そのPDFと同じURLにアクセスした場合、認証を聞かれないでしょうか？

プロキシーの有無や、どのプロキシーサーバーを使うかなどは細かく設定できるため、
まったく同じ条件で確認するのが最もよいです。

>System.Net.WebException: リモート サーバーがエラーを返しました: (407) プロキシ認証が必要です
このエラーが発生している所から見て、
私は、上記検証を行うと認証を聞かれるはずだと思います。


いずれにせよ、エラーが認証情報が必要だという内容ですので、
WebClientのCredentialsプロパティかProxy.Credentialsプロパティに認証情報をセットする処理が必要になってくるかと思います。