WebBrowserコントロールを使ってページを表示したときと、
同じ端末に入っているIE11を使ってページを表示したときとで
表示が違うという現象ですね？

以前も似たような投稿があったときに調べてみたことがあります。
http://rucio.cloudapp.net/ThreadDetail.aspx?ThreadId=17597

原因としては、
WebBrowserコントロールが使用するIEは同じ端末に入っているIEと同じバージョンであるものの、ドキュメントモードがIE7に固定されていることによるものです。
※もし、ドキュメントモードについてご存じなければWeb検索で多数ヒットしますので参考にしてください。

解決方法としては、
万能な解決方法はないのですが、レジストリを編集することと、その影響が許容できるならばレジストリを編集することで同じ端末に入っているIE11と同じ表示になると思います。
参考
この質問の最初の投稿になっています。
https://social.msdn.microsoft.com/Forums/ie/ja-JP/19d08838-4463-453e-8248-608e708e6e77/webbrowserie?forum=internetexplorerja
編集すべきレジストリ
HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Internet Explorer\Main\FeatureControl\FEATURE_BROWSER_EMULATION

HTTP通信をフックして必要なヘッダを操作することでもっと柔軟な解決が可能なようですが、私の経験から類推するとこちらの解決策はかなり面倒です。