SQL Serverが起動していない可能性はないですか？
またはSQL Serverの設定をなにかいじった記憶はありますか？

それから、何をするとエラーになるのでしょうか？
ソリューションエクスプローラで何かをクリックするとエラーになるのですか？
それとも、プログラムを実行するとエラーになるのですか？

>サーバー名ってコンピューター名でよいのでしょうか?
はい。通常はOKです。
ただし、１台のパソコンで複数のSQL Serverを起動している場合(または、本当は１つしか起動していなくても特別にそのような設定にしている場合)にはコンピュータ名にSQL Serverのインスタンス名というものをつけて指定する必要があります。
その場合はコンピュータ名\インスタンス名という形で指定します。
(\は半角の￥です。)
でも普通はコンピューター名だけでいいはずなのでこのことを調べるのはかなり後回しでいいと思います。