> ContinueWithを使用した実装処理はどのように実装すればよいのでしょうか。
まじめに書くとAsync/Awaitを使うのに比べて非常に面倒になります。
なので，Async/Awaitだけで書いた方がよいと思います。

まず，単純にメソッドを一度まとめてしまうと，

Private Async Function UpdateTableAsync(ByVal tableName As String, ByVal dt As DataTable) As Task

    Try

        '対象のテーブルを一括削除。  

        Using con As New SqlConnection(strConnection)

            Using cmd As New SqlCommand()

                Await con.OpenAsync()

                cmd.Connection = con

                cmd.CommandText = "DELETE FROM " & tableName

                cmd.CommandTimeout = 3600

                Await cmd.ExecuteNonQueryAsync()

                con.Close()

            End Using

        End Using



        '対象のテーブルにBulkCopy。  

        Using con As New SqlConnection(strConnection)

            Using sqlBulkCopy As New SqlBulkCopy(con)

                sqlBulkCopy.DestinationTableName = tableName

                sqlBulkCopy.BulkCopyTimeout = 3600

                Await con.OpenAsync()

                Await sqlBulkCopy.WriteToServerAsync(dt)

                con.Close()

            End Using

        End Using

    Catch ex As Exception

        MessageBox.Show(ex.Message)

    End Try

End Function

のようになります。
DELETEに失敗した時点でBulk Copyする意味が無いため，Try-Catchの範囲を変更していますが。

なお，Async/Awaitを使っている場合，UIスレッドから呼び出されたとすると，
・Awaitしているメソッドが内部でTaskを作っているような場合は非UIスレッド
・それ以外の部分はUIスレッドで動作します。
# ConfigureAwait(False)をしている場合を除く。この場合はメソッド終了まで非UIスレッドで動きます。

メソッドに分割し直すと，

'対象のテーブルを一括削除。  

Private Async Function DeleteTableAsync(ByVal tableName As String) As Task

    Using con As New SqlConnection(strConnection)

        Using cmd As New SqlCommand()

            Await con.OpenAsync().ConfigureAwait(False)

            cmd.Connection = con

            cmd.CommandText = "DELETE FROM " & tableName

            cmd.CommandTimeout = 3600

            Await cmd.ExecuteNonQueryAsync().ConfigureAwait(False)

            con.Close()

        End Using

    End Using

End Function



'対象のテーブルにBulkCopy。  

Private Async Function BulkCopyToTableAsync(ByVal tableName As String, ByVal dt As DataTable) As Task

    Using con As New SqlConnection(strConnection)

        Using sqlBulkCopy As New SqlBulkCopy(con)

            sqlBulkCopy.DestinationTableName = tableName

            sqlBulkCopy.BulkCopyTimeout = 3600

            Await con.OpenAsync().ConfigureAwait(False)

            Await sqlBulkCopy.WriteToServerAsync(dt).ConfigureAwait(False)

            con.Close()

        End Using

    End Using

End Function



Private Async Function UpdateTableAsync(ByVal tableName As String, ByVal dt As DataTable) As Task

    Try

        Await DeleteTableAsync(tableName)

        Await BulkCopyToTableAsync(tableName, dt)

    Catch ex As Exception

        MessageBox.Show(ex.Message)

    End Try

End Function

でしょうか。
UIに関係ない部分をメソッドに切り出して，ConfigureAwait(False)によってUIスレッドに戻す処理を行わないようにしています。


ちなみに，これらをContinueWith使って書き直すのは結構骨が折れます。

Private Function UpdateTableAsync(ByVal tableName As String, ByVal dt As DataTable) As Task

    Dim task1 = DeleteTableAsync(tableName)

    Dim task2 = task1.ContinueWith(Function (t) BulkCopyToTableAsync(tableName, dt) End Function, TaskContinuationOptions.OnlyOnRanToCompletion).UnWrap()

    Dim task3 = task1.ContinueWith(Sub (t) MessageBox.Show(t.Exception.Message) End Sub, CancellationToken.None,TaskContinuationOptions.OnlyOnOnlyOnFaulted, TaskScheduler.FromCurrentSynchronizationContext())

    Dim task4 = task2.ContinueWith(Sub (t) MessageBox.Show(t.Exception.Message) End Sub, CancellationToken.None,TaskContinuationOptions.OnlyOnOnlyOnFaulted, TaskScheduler.FromCurrentSynchronizationContext())



    Return Task.WhenAll(task3, task4)

End Function

たぶん，こんな感じです (コンパイルすらしていません)。
なお，Async/Awaitは状態機械を作るので，上記とは異なるコードを作成します。