返信ありがとうございます。
メソッドを分割する手法をとることにしました。

UIスレッドと非UIスレッドを正しく認識し利用する必要がありそうですね。

>ちなみに，これらをContinueWith使って書き直すのは結構骨が折れます。
>たぶん，こんな感じです (コンパイルすらしていません)。
コンパイルが出来ませんでした。task2～4で怒られます。

task2に関しては、下記で通りました。

        Dim task2 = task1.ContinueWith(Function(t)

                                           Return BulkCopyToTableAsync(tableName, dt)

                                       End Function, TaskContinuationOptions.OnlyOnRanToCompletion).Unwrap()

task3と4はこれらで通りませんでした。

'TaskContinuationOptions.OnlyOnOnlyOnFaultedでエラー？。 

        Dim task3 = task1.ContinueWith(Sub(t) MessageBox.Show(t.Exception.Message), CancellationToken.None, TaskContinuationOptions.OnlyOnOnlyOnFaulted, TaskScheduler.FromCurrentSynchronizationContext())

        Dim task4 = task2.ContinueWith(Sub(t) MessageBox.Show(t.Exception.Message), CancellationToken.None, TaskContinuationOptions.OnlyOnOnlyOnFaulted, TaskScheduler.FromCurrentSynchronizationContext())

また、これら更新メソッドを呼ぶ側にも気になる点がございます。

    Private Async Sub Button1_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button1.Click



        Button1.Enabled = False

        Loading.Visible = False 'gif表示 



        Dim dt As DataTable = '対象のファイルを読み込みDataTable型で渡す。 

        If dt Is Nothing Then

            Exit Sub

        End If



        Await UpdateTableAsync("TableName", dt)



        Button1.Enabled = True

        LoadingAnime.Visible = False



    End Sub

○buttonイベントで呼び出しているのですが、ボタンの状態offとgifの表示がワンクッション遅れてしまいます。Asyncの特性なのでしょうか？。それとも画面の更新が追いついていないだけでしょうか。