コード中のパスワードが本物であるのであれば，すぐさまパスワードを変更する事をお勧めします。


で，「メールのチェック」というのは何を意味していますか。
この言葉だけけではやりたいことがわかりません。
他のサイトで「自分で調べるように」と書かれた，というのは，単純に質問の意味が多義にとれるので，そこからまず一意に絞ることが面倒に思われたのかもしれません。


もし，前回チェックした時から現在までに新しく来たメールが存在するかを知りたいのであれば，NoReadMailsメソッドがそれをそのままやっています。
これは「新しく来たメール」の一覧を取得するものなので，戻り値のLengthが0でなければ新しく来たメールが存在する事になります。


UIDが何か，といった話であれば，POP3というプロトコルについての知識が必要になります。
例えば，@ITの以下のページ
http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/0106/05/news001.html
などが参考になるかと思います。
というか，hiroyukiさんが参考にしたとされる，Ｔｏｋｉさんのページの冒頭にもUIDについて書いてありますね。

> あと当方メールの仕組みは全くの無知です。

せめてPOP3プロトコルを勉強してください。
自分の管轄にないサーバーとやりとりをする以上，ある程度の知識は必須になります。
今回の場合だと，UIDの話を知らないと毎回全てのメール情報を引き出すような，サーバーに無用な負担をかけるプログラムを作りかねません。