普通に使うだけなんですけどね……。

例えば，Console Applicationとして次のようなコードを書けば，データの読み込み・保存が確認できます。

Option Explicit On

Option Strict On

Option Infer On



Imports System

Imports System.Collections.Generic

Imports System.IO

Imports System.Linq



Module Module1



    Sub Main()

        Dim uidList = ReadUids().ToList()



        Console.WriteLine("[Read UIDs]")

        For Each uid In uidList

            Console.WriteLine($"    <{uid}>")

        Next

        Console.WriteLine()

        Console.WriteLine("[Input UIDs]")

        While True

            Dim uid = Console.ReadLine()

            If uid Is Nothing Then Exit While

            uidList.Add(uid)

        End While

        Console.WriteLine()

        Console.WriteLine("[Write UIDs]")

        For Each uid In uidList

            Console.WriteLine($"    <{uid}>")

        Next



        WriteUids(uidList.Distinct().ToArray()) ' 一応，Distinctかけて一意にしておく。 

    End Sub



    Function ReadUids() As String()

        If Not File.Exists("uid.dat") Then

            Return Array.Empty(Of String)

        End If

        Return File.ReadAllLines("uid.dat")

    End Function



    Sub WriteUids(uids As String())

        File.WriteAllLines("uid.dat", uids)

    End Sub

End Module

で，実際のMailDataクラスではどうすればよいかを考えて修正して，実際のコードに追加すればよいです。
# なお，上記のコードではImports文やOption文に関して，冗長に記述しています。

いきなり全てをやろうとせず，わからない部分だけについてこのように切り出して作成してみるとよいかと思います。