私の場合、何も問題ありませんでした。思惑通りにできました。
もしや、

Public Class Form1

    Dim X As String = TextBox1.Text

    Dim Y As String = TextBox2.Text

    Private Sub Button1_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button1.Click

        X = TextBox1.Text

        Y = TextBox2.Text

        TextBox3.Text = X + Y

　   End Sub

End Class

ですか。これは、エラーしますよね。わたしも、あまり考えたことはなかったですけど、うっかりしていました。何かイベントを起こさなければコントロールにはその旨伝わりませんよね。
ですから、

Public Class Form1

    Private Sub Button1_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button1.Click

        Dim X As String = TextBox1.Text

        Dim Y As String = TextBox2.Text

        TextBox3.Text = X + Y

    End Sub

End Class

としてみてください。三浦さんの思惑通りになると思いますよ。
ただ、好みの問題かもしれませんが、
>TextBox3.Text = X + Y
ではなくて、TextBox3.Text = X & Y　のほうが良いのでは…
魔界の仮面弁士さんより、private内での変数は頭文字は小文字、publicでは大文字という風に決めておくと後で見直したとき楽です。ですから、Dim x As String ですね。