> 'System.Data.OracleClient.OracleConnection' は旧形式で

新規のプロジェクトでは、今回利用しようとしていたコードを利用しないでください。

先に述べたように、.NET 4 以降においては、Microsoft 製の Oracle Data Provider である
System.Data.OracleClient 名前空間のライブラリが、非推奨となっているためです。


代わりに、Oracle 社純正のライブラリを使うようにします。
今なら、12c 向けの Oracle Managed Driver を利用するのが良いでしょう。

Visual Studio の [ツール] メニューの nuget から "Oracle" で検索すれば
「ODP.NET」(Oracle Data Provider .NET)が一覧に現れるので、
それを指定することで、プロジェクトへの参照設定まで行ってくれます。
（nuget が使えない場合は、oracle.com から ODP.NET をダウンロードしてください）

なお、ODP.NET の使い方は、現状のコードとさほど変わらないと思います。
Imports するべき名前空間が System.Data.OracleClient ではなく
Oracle.ManagedDataAccess.Client (または Oracle.DataAccess.Client ) に
変更とはなりますけれども。

http://blog.shibata.tech/entry/2014/11/02/173039
http://www.oracle.com/technetwork/jp/articles/dotnet/o24odp-2147205-ja.html


>> VB 以外からの接続はできている状態なのですね?
> VB以外からは試していません......

今後、VB 側のコードを正しいものに修正してみて、それでも繋がらない場合は、
　・接続文字列が間違っている
　・クライアント設定の不足(tnsnames.ora を読み取れないなど)
　・サーバー設定の不足（リスナー用のポートが閉じられているなど）
などといった要因を排除するために、VB 以外(SQL*Plus 等)から
接続できることを事前確認しておいた方が良いでしょう。