仕組みがわからない，というのは「何についての」仕組みがわからないのでしょうか。
・市松模様は関係なく，そもそもPictureBoxに描画する方法がわからない
・市松模様に(ハードコーディングでも)描く方法がわからない
・市松模様をループで描くための赤と白の判定方法がわからない
・その他
等あると思いますが。