共有、非共有についての認識ができていませんでした。
勉強になります。

Button1.ClickとTimer_Tickそれぞれに、New EasyModbusがありましたので、
↓のように、Privateで宣言してみました。（いただいたコメントに対する、私の理解が低くてすみません。)

    Private ModbusClient As EasyModbus.ModbusClient = New EasyModbus.ModbusClient(TextBox1.Text, 502)

    Private Sub Button1_Click() Handles Button1.Click

　　～～省略～～

　　End Sub


すると、↓のエラーメッセージが出てしまいます。


System.NullReferenceException: 'オブジェクト参照がオブジェクト インスタンスに設定されていません。'

Modbus_TCP.Form1.TextBox1.get が Nothing を返しました。