FolderBrowserDialog は、XP までの古い API (SHBrowseForFolder) に依存しており、
クイックアクセスの表示には対応していません。

クイックアクセス対応のフォルダー選択ダイアログを開くのであれば、
nuget で Windows API Code Pack を組み込んだ上で、
Microsoft.WindowsAPICodePack.Dialogs.CommonOpenFileDialog クラスを
利用するのが手っ取り早いです。