System.Data.OracleClient の利用は避けてください。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/dotnet/api/system.data.oracleclient.oracleexception

上記は Oracle Client 8.1.7 以降を必要としますが、.NET 2.0 以降では Oracle 純正のライブラリの
仕様が推奨されており、.NET 4.0 以降では、System.Data.OracleClient 自体が非推奨になっています。


そして、Oracle 純正の Managed / Unmanaged な ODP.NET の OracleException では、
Code ではなく Number を用いるようです。
https://docs.oracle.com/cd/E57425_01/121/ODPNT/OracleExceptionClass.htm