> 今後、WebBrowserコントロールはサポートされなくなるのでしょうか？
そもそも、 Windows 10 の長期サービスチャネル（LTSB/LTSC）版や Windows Server では
「Internet Explroer 11 が標準ブラウザー」であり、Microsoft Edge レガシは搭載されていません。

また、WebBrowser コントロールは、.NET Framework 2.0～4.8 だけでなく、
.NET Core 3.0 / 3.1 および .NET 5 でもサポートされます。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/dotnet/api/system.windows.forms.webbrowser

その意味において、アプリから WebBrowser が直ちに使えなくなる…ということは無いでしょう。
WebBrowser では利用できないサイトというのはあるにしても。


> IEを現在または今後サポート対象外とするサイトが増えてきています。
New Edge や Chrome のみを推奨とした Web サイトがあるのは確かで、その場合、
Edge Legacy や Internet Explorer/WebBrowser では対応できなくなりますね。


以下、参考までに。使った事が無い物が多いので間違っているかも。
（準備中のものや、サポート終了したものもあります）


Trident エンジン (Internet Explorer) ベースなら：
　WebBrowser (System.Windows.Forms.WebBrowser)
　Microsoft Web Browser (ActiveX: ieframe.dll)

EdgeHTML エンジン (Edge Legacy) ベースなら：
　WebView (Microsoft.Toolkit.Forms.UI.Controls.WebView)
　WebView2 (Microsoft.Web.WebView2.WinForms.WebView2 / MtrDev.WebView2.Winforms.WebView2Control)

WebKit エンジン (Chrome Legacy) ベースなら：
　WebKit.NET (WebKit.WebKitBrowser)
　Awesomium (Awesomium.Windows.Forms.WebView)

Blink エンジン (Chrome、Edge)  ベースなら：
　CefSharp (CefSharp.WinForms.ChromiumWebBrowser)
　EO.WebBrowser (EO.WinForm.WebControl)
　DotNetBrowser (DotNetBrowser.WinForms.BrowserView)

Gecko エンジン (FireFox) ベースなら：
　GeckoFX (Skybound.Gecko.GeckoWebBrowser)