> こちらについてどのような関数を使えばよいか教えていただきたいです。

手前味噌ですが、実際に画像を切り出すサンプルを掲載しておきます。
「TextBox で指定したサイズ」ではなく、「マウスでドラッグした領域」を
切り出すコードなので、その点は手直しは必要になると思いますが、参考までに。
http://www.vb-user.net/junk/replySamples/2010.02.08.14.53/Clipping.txt


なお、使うべきクラスやメソッドの例は、るきおさんが既に答えられているので、
知りたいの手順や関数等だけであって、具体的なコードを知りたいわけでは無いという
場合には、本投稿を無視してください。(^^;