ご質問の回答を書くのはすごく難しいです。挑戦してみます。

難しい理由は 黒猫さんが、何人でどういう業務にその仕組みを使っているか がわからないという点。それから、どういう要件があるのかわからないという点です。
おそらく黒猫さんが書いていない重要な要件があるはずです。データベースだけあっても意味がないので、それを利用する仕組みがありますよね。現在使っているプログラムやフォームやレポートやクエリなどとの互換性が必要だったり、あるいは全部作り変えてもいいけど、結果的あれができないと困るなどの譲れない線があると思います。

Accessをまるっと置き換えられる何かがあればよいのですが、そのようなものはありません。
(黒猫さんが挙げられている５つの要望に合致するものも私は知りません。)

しかし、これだとゼロ回答になってしまうので、少し提案を書きます。

業務内容がわからないので、なんとも言えませんが、ITの世界でもパラダイムシフトが起こっており、「データベースが要件に合わなくなってきたので、別のデータベースに乗り換えたい。」という視点ではなく、データベースの周辺(クエリやフォーム、レポートなど)も含めて、何かその業務に使えるモダンな仕組みがないか探してみるのが良いのではないかという提案です。


2020年現在、何らかのITの仕組みを考えるのであれば、まずはクラウドを考えることになります。

たとえば、今やっている業務をAzureのや GCP の BigQuery + データポータル で置き換えられる可能性がありませんか？

Azure のデータ分析ソリューション
https://azure.microsoft.com/ja-jp/solutions/big-data/

データポータル
https://marketingplatform.google.com/intl/ja/about/data-studio/


MicrosoftのPowerAppsやGoogleのAppSheetはまた別の視点でデータベースアプリを作成することができます。ExcelとAccessの中間の存在のような感覚で画面やレポートを作成できます。料金はどちらも安いとはいえないかもしれません。

PowerApps
https://powerapps.microsoft.com/ja-jp/

AppSheet
https://www.appsheet.com/


どうしても自前で素のデータベースを読み書きしたいのであれば、３大クラウド(AmazonのAWS、MicrosoftのAzure、GoogleのGCP)の中で私が最もお手軽なデータベースとして使えると思うのはGCPのCloud SQL(MySQL)です。
ファイル形式ではありませんし、アクセスするためにプログラムが必要な点はSQLiteと同様ですが、Cloud SQL Proxyというものをインストールして使用すると、これだけでローカルから簡単にアクセスできるようになるのが他のクラウドのデータベースにはない特徴です。

上記でも触れたGCPのデータポータルを使ってレポートのような形式で見ることもできます。
Cloud SQL(MySQL)は小規模なものなら月額2000円以下で使用できます。小規模と言っても10GBは格納できます。

mdbのようにデータをファイルとして扱いたい理由が私にはわかりません。バックアップなどが気軽にできるということであれば、クラウドベースのソリューションの多くは気軽にバックアップできるので同等です。
なにか、ファイルに特別なこだわりがあるのであれば、SQLiteというデータベースはファイル形式で利用できますが、ほとんどの業務では使用するメリットを感じないため私はこれをお勧めしません。このデータベースを使用するにはSQLiteを読み書きできる別アプリが必要です。SQL文を実行できれば良いレベルならば、Visual Studioやそのほかのもっとお手軽なフリーのツールも利用できます。
SQLiteを使ってフォームやレポートを実現しようとするとプログラムが必要です。そのプログラムはAccessではできません。(もしかしたらできるかもしれませんが聞いたことはありません。)