>開発言語にVB.net（たまにC#）を使用している関係上、
>MicrosoftのAzureがいいかな、と思っています。
AWS、GCPでもVB/C#を動かせますよ。

アーキテクチャーを先に考えたほうが良いですね。
インターネット経由でなんでもできるアーキテクチャーが柔軟性・拡張性などに優れお勧めですが、要件によっては専用線(Express Routeなど)をひいて、専用線内でやりとりする場合もあります。

専用線をひくのは少しハードルがありますので、ひとまずお勧めであるインターネット経由で機能を提供する方向で書いてみます。

>クライアント側アプリからSQL Serverにクエリを投げるような使い方をしたい
これはお勧めできないです。
脆弱性の原因になりますし、セキュリティ機能(WAFなど)でこのようなリクエストが拒否される可能性すらあります。
クライアントとクラウド間の通信は WebAPI にするのが良く、そのWebAPIの機能もSQLを引数として結果を返すというようなものではなく、商品を取得する、商品を登録するなどの扱っているモノ(リソース)単位で考えるのが一般的です。

SQL Serverを使うのもお勧めではなく、もっと安いMySQLも使えますし、RDBではない、Cosmod DBやTableストレージもあります。これらは機能が劣っているわけではなく、考え方が違うものです。クラウド自体の考え方によりマッチするようになっています。

Azureについては公式の学習教材がここにそろっていますので、ご覧になってみてはいかがでしょうか。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/learn/browse/?products=azure&resource_type=learning%20path