>RDBで言うと何がお勧めでしょうか？
RDBで私がお勧めするのは MySQL, PostgreSQL, MariaDB, SQL Server の順です。
SQL Server には Azure SQLを含みます。

お勧めする理由は、フルマネージドの度合いとコストです。
他の要件を含めるとにお勧めは変わります。

RDB自体をお勧めしない場合もあります。

>テキスト検索の速度も向上させたいです。
現行がAccessであることを考えるとデータベース自体は何を選択してもAccessよりは高速かもしれません。
ネットワークによる遅延のほうが大きくなる場合もあります。
データ量や処理内容にもよります。

速度が気になるならGCPのBigQueryはRDBではありませんが、速度では定評があります。値段もそんなに高くないような…。
https://cloud.google.com/bigquery/pricing?hl=ja

Tomomiさんは現状ほぼビギナー状態ということなので、とっつきやすいところからお試しで作ってみるアプローチが良いのではないでしょうか。
そういう意味では上記で紹介したAzureの教材は扱いやすいと思います。