Vue.js は使ったことがないのですが、TypeScript + React とは環境や設定が異なるはずです。

マイクロソフトが、Visual Studio で Vue.js を使う記事を公開しているので、参考になりそうです。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/visualstudio/javascript/create-application-with-vuejs?view=vs-2019

yu さんの投稿内容を見た限りでは、module.rule.test が css になっていますし、ローダーには vue-loader や babel-loader を使用することになりそうです。
このあたりは、上のマイクロソフトの手順通りにやれば、できると思います。


ところで、サーバーサイドにVBかC#を使うのであれば、プロジェクトを分けて、フロントエンドのVue.js を独立したプロジェクトにする方が苦労が少ないかもしれません。そのような構成にすれば、Vue.js部分は完全に上記のマイクロソフトの記事と同じで良いかもしれないからです。
それに世間には Vue.js や C# の情報が大量にありますが、Vue.js + C# を組み合わせた情報は極端に少なくなるので、この点からもこの２つを組み合わせるのではなく、別々のもとして構築し、フロントエンドのVue.jsからはWebAPIでサーバーサイドのC#を呼び出すという構成が楽なように思います。