魔界の仮面弁士さま。ご回答ありがとうございました。

BeginInvoke なるヒントをいただきまして、これから辿って下記のコードに至りました。

一応、僕の意図通りに動いているようですが、ダメなところがあればご指摘ください。

なお、最初のコードでボタン・クリックが無視されていた部分は、ご指摘の通り MsgBox が原因でした。
ちなみに、下記のコードでは影響ないようです。ありがとうございました。

Public Class Form1



    Dim flg As Integer = 0



    Dim ms As String = "10"



    Private Sub TextBox1_Enter(sender As Object, e As EventArgs) Handles TextBox1.Enter



        flg = 1



        ms = "t15"



        TextBox1.Text = "3"



    End Sub



    Private Sub TextBox1_KeyDown(sender As Object, e As KeyEventArgs) Handles TextBox1.KeyDown



        If e.KeyData = Keys.Enter Then



            TextBox2.Text = "4"



            InvokeMethod()



            TextBox2.Select()



        End If



    End Sub



    Private Sub Button1_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button1.Click



        flg = 5



        ms = "18"



        MsgBox(ms)



    End Sub



    Private Sub TextBox2_Enter(sender As Object, e As EventArgs) Handles TextBox2.Enter



        TextBox2.Text = ms



    End Sub



    Private Sub TextBox2_KeyDown(sender As Object, e As KeyEventArgs) Handles TextBox2.KeyDown



        If e.KeyData = Keys.Enter Then



            flg = Val(TextBox2.Text)



        End If



    End Sub



    Delegate Sub InvokeDelegate()



    Private Sub TextBox1_Leave(sender As Object, e As EventArgs)



        TextBox1.BeginInvoke(New InvokeDelegate(AddressOf InvokeMethod))



    End Sub



    Public Sub InvokeMethod()



        If flg = 1 Then



            MsgBox("tbx")



            ms = "20"



            MsgBox(ms)



            flg = 2



        End If



    End Sub



End Class