こんにちは。

> > ユーザーが処理していない例外
> > System.FormatException: 'Input string was not in a correct format.'
> と出て処理は中断します。

このサンプルでこの例外が出るありそう理由は、FormのTextプロパティを 0 に設定していない場合です。

> FormのTextプロパティを半角数字で0を書き込んでもエラー停止します。
その記事のところに実際に設定とプログラムを行う動画を付けてありますが、同じように設定してもエラーになるでしょうか？

「半角数字で」ということですが、念のため全角になっていないか、前後に余計なものがついていないかなどご確認ください。

> それとTextプロパティは(DataBindings)にも同名プロパティがありますが、そちらは関係ないですよね？
はい。関係ありません。

this.Text = (int.Parse(this.Text) + 1).ToString();

このプログラムでは、 this.Text を数値にして +1 するという処理を実行しています。
this.Text は Form の Text プロパティを表しています。
this.Text が 数値にできない場合、System.FormatException: 'Input string was not in a correct format.' の例外が発生します。

エラーが解決できない場合、エラーが発生して、プログラムが中断しているときに this.Text の Text の部分にマウスカーソルをホバーさせてみてください。Textプロパティの値がどのように認識されているか確認してみてください。

※スクリーンショットのサイズが思ったより大きかったです…